• Delphine Boucher (Université de Rennes 1) – Autour des codes définis sur des anneaux de polynômes tordus

Travail en commun avec W. Geiselmann et F. Ulmer.

RESUME : Les codes tordus sont définis dans des anneaux (non commutatifs) de polynômes tordus sur un corps fini Fq noté Fq[X,theta] où theta est un automorphisme de Fq et la multiplication est régie par la règle X a = theta(a) X pour a dans Fq. Les codes ‘idéaux’ theta-cycliques sont obtenus comme des idéaux à gauche de l’anneau quotient Fq[X,theta]/(X^n-1) où n est un multiple de l’ordre de l’automorphisme theta. On peut généraliser cette construction en considérant des quotients Fq[X,theta]/(f) où f est un polynôme central de Fq[X,theta] (on parle alors de codes ‘ideaux’ theta-centraux) mais aussi en considérant des modules à gauche des modules quotients Fq[X,theta]/(f) où f est un polynôme quelconque de Fq[X,theta]. On parlera alors de codes ‘modules’ tordus. Dans cet exposé, après avoir défini les codes tordus, on s’intéressera plus particulièrement à la caractérisation des codes tordus auto-duaux et à leur construction sur F4 pour les produits scalaires euclidiens et hermitiens.

Exposé annulé

  • Pierrick Gaudry (LORIA) – Factorisation d’entiers et RSA768

RESUME : En janvier dernier, la factorisation de RSA-768 a été annoncée. Après avoir rappelé quelques éléments généraux sur la factorisation d’entiers, nous expliquerons avec un peu plus de détails l’algorithme du crible algébrique qui est utilisé pour factoriser les modules RSA. Nous détaillerons ensuite comment cet algorithme a été mis en oeuvre dans le cas de RSA-768. Il aura fallu environ 2 ans et demi et la collaboration des équipes de l’EPFL, du CWI, de NTT et de notre équipe nancéienne pour venir à bout de ce calcul.

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  • Didier Alquié (DGA) – « Branch Number » d’un automate linéaire et codes convolutifs récursifs systématiques

Travail commun avec Franck Landelle.

RESUME : Dans ce travail nous proposons un nouveau cadre pour estimer le biais linéaire d’un générateur pseudo aléatoire. Nous définissons le « branch number » d’un automate intermédiaire défini sur un corps fini GF(q) comme le nombre de boîtes actives liées aux entrées et sorties. Cette valeur est utile pour évaluer le biais linéaire global du générateur. Nous montrons qu’elle peut être reliée à la distance libre d’un code convolutif sur GF(q) convenablement défini, et que les codes optimaux par rapport à cette distance conduisent à une borne inférieure – fine – sur le « branch number ». En conséquence, l’utilisation de notre proposition spécifique comme partie d’un générateur pseudo aléatoire permet de fournir une borne supérieure « prouvée » du biais global.

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  • Christophe Chabot (Université de Rennes 1)– Codes quasi-cycliques et polynômes à coefficients matriciels

RESUME : Nous nous intéressons ici à la généralisation de résultats connus sur les suites récurrentes linéaires classiques aux suites récurrentes linéaires ayant un polynôme caractéristique à coefficients matriciels. Nous montrerons qu’il est possible de construire des codes quasi-cycliques à partir de telles suites (par analogie avec la construction de codes cycliques à partir de suites récurrentes linéaires classiques). Nous obtiendrons alors la notion de code quasi-cyclique annulé par un polynôme à coefficients matriciels. Finalement nous construirons des codes quasi-cycliques auto-duaux Euclidiens et Hermitiens qui dans la plupart des cas atteignent les bornes connues pour les distances minimales.

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